De puzzel van Eise Eisinga

Door mr. Bouwe Brouwer

Inleiding

In december 2011 verscheen in de Leeuwarder Courant een artikel over een hersenkraker op het graf van Eise Eisinga (1744-1828). De grafsteen waaronder Eise Eisinga en zijn vader Jelte Eises liggen was pas gerestaureerd en daardoor was de tekst weer leesbaar geworden. De geboorte-, sterfdatum en leeftijd van de vader is niet gewoon op de grafsteen vermeld, maar in de vorm van een puzzel. Al direct ontstond er twijfel over de juiste interpretatie van de uitkomst van het sommetje. In dit artikel zal ik de mogelijke theorieën tegen het licht houden en toetsen aan andere bronnen.

Het graf van Eise Eisinga en zijn vader is te vinden op het kerkhof van de Sint-Salviuskerk (dʼAlde Wite) in Dronrijp. Eise Eisinga, de bouwer van het planetarium in Franeker, liet op het graf van zijn vader een grafsteen aanbrengen met een puzzel waarmee de geboortedatum, sterfdatum en leeftijd van zijn vader berekend kan worden. Toen Eise Eisinga zelf overleed werd hij bijgezet in het graf van zijn vader. Het graf bevindt zich links aan het grindpad van de zuidelijke ingang van de kerk richting waterpomp.

Tekst van de grafsteen

De tekst van de grafsteen is als volgt:1

Jelte Eises Eisinga

Was in de tijd van dit Noodlottig leeven
Van God een wonderbaar vernuft gegeeven
Die door zijn Eigen vinding dingen wrogt
En door zijn Eigen hand tot rijpheidt brogt
So dat men boven zijn Natuurgenoten
Den lof en roem van veele sag vergroten
’T Lighaam is hier ter ruste neer geleidt
Tot dat de Heer het wekt tot d’Eeuwigheidt.

Sijn Ouderdom doe hij stierf met de Jaaren
Christy Geaddeerd maakt 1854 204/365
En de Jaaren Christy met het 1/4 van sijn Jaren
Gemultipliceert komt 31120 292849/532900

Eise Eisinga

Soortgelijke wiskundige puzzels

De puzzel op de grafsteen van Eisinga staat niet op zichzelf. Er zijn mij nog twee soortgelijke wiskundige puzzels op grafstenen bekend die ouder zijn dan de puzzel van Eise Eisinga.

De oudste grafsteen bevond zich op het kerkhof van Hallum. De inscriptie van deze grafsteen luidde:
Ik Eeltje Buwes leg alhier begraven
en mijn ouderdom bij de ½ van de jaren Christi komt 842
2/73
en mijn ouderdom met ¼ van Christi jaren gemullipliceert komt 8845
1573/5329.234
Deze steen werd verbrijzeld toen op 16 april 1804 de oude stompe toren plotseling instortte.5

Een andere grafsteen bevond zich in Jorwerd. Het is zeker dat Eisinga met deze puzzel bekend was, de puzzel staat namelijk in het rekenboek dat de jeugdige Eisinga in de jaren 1759/1760 schreef.67 De tekst op deze grafsteen was als volgt:
Klaas Lieuwes Fopma, leid alhier begraven.
Zijn ouderdom doe hi Stierf bi de helft van de Jaren Christi geaddeert zijn = 878
549/730.
En de ¼
van Klaas Lieuwes Jaren vermeenigvuldigt met de Jaren na Christi geboorte is = 17159 19391/26645 Jaren.8

Berekening

Deze paragraaf kunt u gerust overslaan als u niet geïnteresseerd bent in wiskunde.

De puzzels hebben steeds hetzelfde stramien. Er zijn twee vergelijkingen:
Som: d∙od + e∙jc = y
Product: f∙od∙jc = z

De variabelen d, e, f, y en z zijn bekend. Daardoor kunnen we jc (jaren Christi) en od (ouderdom) berekenen.

Eerst berekenen we de jaren Christy.

d∙od + e∙jc = y
f∙od∙jc = z <=> od∙jc = z/f <=> od = z / (f∙jc)

d∙z / (f∙jc) + e∙jc = y

Vermenigvuldigen met jc:
d∙z / f + e∙jc∙jc = y∙jc

e∙jc∙jc – y∙jc + d∙z / f = 0

Dit is een vierkantsvergelijking. De standaardvorm van de vierkantsvergelijking is als volgt:
ax² + bx + c = 0
Om de vierkantsvergelijking op te lossen wordt eerst de discriminant berekend:
D = b² − 4ac
De twee antwoorden zijn dan:
x1 = (− b – √D) / 2a
x2 = (− b + √D) / 2a

Toegepast op onze puzzel, berekenen we eerst de discriminant:
D = b² − 4ac = y² – 4dez / f

En vervolgens jc:
jc1 = (− b – √D) / 2a = (y – √D) / 2e
jc2 = (− b + √D) / 2a = (y – √D) / 2e

Vervolgens berekenen we de ouderdom.

d∙od + e∙jc = y
f∙od∙jc = z <=> od∙jc = z/f <=> jc = z / (f∙od)

d∙od + e∙z / (f∙od) = y

Vermenigvuldigen met od:
d∙od∙od + e∙z / f = y∙od

d∙od∙od – y∙od + e∙z / f = 0

We berekenen weer de discriminant:
D = b² − 4ac = y² – 4dez / f
Merk op dat de discriminant voor de berekening van de ouderdom dezelfde is als die voor de berekening van de jaren Christi.

Vervolgens bereken we de od:
od1 = (− b – √D) / 2a = (y – √D) / 2d
od2 = (− b + √D) / 2a = (y – √D) / 2d

We hebben nu de volgende formules:
D = b² − 4ac = y² – 4dez / f
jc1 = (− b – √D) / 2a = (y – √D) / 2e
jc2 = (− b + √D) / 2a = (y – √D) / 2e
od1 = (− b – √D) / 2a = (y – √D) / 2d
od2 = (− b + √D) / 2a = (y – √D) / 2d

Omdat de jaren Christy altijd veel hoger zullen zijn dan de ouderdom, voldoen jc1 en od2 niet.

Aldus kunnen we jc (jaren Christi) en od (ouderdom) berekenen met onderstaande formules:
D = y² – 4dez / f
jc = (y – √D) / 2e
od = (y – √D) / 2d

Uitkomsten berekening

Eeltje Buwes van Hallum:
Jaren Christi = 1640 340/365
Ouderdom = 21 205/365

Klaas Lieuwes Fopma van Jorwerd:
Jaren Christi = 1675 210/365
Ouderdom = 40 352/365

Jelte Eises Eisinga van Dronrijp:
Jaren Christi = 1784 297/365
Ouderdom = 69 272/365

Interpretatie uitkomsten

Nu we de sommen hebben uitgerekend, kunnen we ons met de interpretatie van de uitkomsten bezighouden.

Wat de ouderdom betreft, is de zaak nog redelijk eenvoudig:
Iemand die geboren is op 1 januari 1940 en sterft op 2 januari 2011 heeft een ouderdom bereikt van 71 jaren en 1 dag, oftewel 71 1/365 jaren.

Wat de jaren Christi betreft, ligt de zaak gecompliceerder. Er zijn verschillende interpretatiemogelijkheden. Ik heb hieronder vier theorieën uitgewerkt.

Theorie 1 is een eenvoudige theorie. In deze theorie is 2015 1/365 voor jaren Christi de eerste dag van 2015, dus 1 januari 2015.

Theorie 2 beschouwt de eerste theorie als foutief. De jaartelling begint immers bij het jaar 1, niet bij het jaar 0. Daarom moeten we bij de jaren Christi 1 optellen om op het juiste jaartal uit te komen. 2014 1/365 is in deze theorie 1 januari 2015.

Theorie 3 is nog verfijnder. Als de jaartelling begint op 1 januari van het jaar 1, dan moet 1 januari 2015 precies 2014 jaar hierna liggen. 2014 is in deze theorie 1 januari 2015, 2014 1/365 is dan 2 januari 2015.

Theorie 4 houdt er ook nog rekening mee dat Christus is geboren op 25 december. De jaartelling begint pas op 1 januari van het jaar 1 bij zijn besnijdenis, precies een week na zijn geboorte. In deze theorie is 2014 7/365 gelijk aan 1 januari 2015.

Theorie 3 en 4 volgen voor de jaren Christi dezelfde redeneerwijze als voor de ouderdom. Theorie 4 lijkt mij te ver gezocht en zal ik ook niet verder uitwerken.

Naast deze verschillende theorieën, speelt nog het probleem van het schrikkeljaar. Dit speelt zowel bij de leeftijd als bij de jaren Christy.

Wanneer voor het halen van een vol extra levensjaar 29 februari van een schrikkeljaar gepasseerd moet worden, wordt de noemer niet 365, maar 366:
Iemand die geboren is op 1 januari 1940 en sterft op 2 januari 2012 heeft een ouderdom bereikt van 72 jaren en 1 dag, oftewel 72 1/366 jaren. Zijn niet gehaalde 73e verjaardag (1 januari 2013), is 366 dagen na zijn 72e verjaardag (1 januari 2012).

Voor de jaren Christy geldt iets soortgelijks. Bij theorie 1 is 1 januari van het schrikkeljaar 2012 dus 2012 1/366.

Er kan echter ook geredeneerd worden dat de schrikkeldag slechts een ingevoegde dag is die voor de berekening niet meetelt. De noemer is dan altijd 365; er wordt geen rekening met 29 februari gehouden.

Toetsing van de theorieën

Eeltje Buwes van Hallum
Jaren Christi = 1640 340/365
Ouderdom = 21 205/365

Theorie 1: 15 mei 1619 – 6 december 1640.
Theorie 2: 15 mei 1620 – 6 december 1641.
Theorie 3: 16 mei 1620 – 7 december 1641.
Bij theorie 1 krijgen we te maken met het schrikkeljaar 1640. De noemer van jaren Christi zou dan eigenlijk 366 moeten zijn in plaats van 365. De 340e dag van een gewoon jaar is 6 december. Bij de uitkomst van 6 december 1640 voor de sterfdatum, ga ik ervan uit dat de schrikkeldag 29 februari 1640 niet is meegeteld.

Klaas Lieuwes Fopma van Jorwerd
Jaren Christi = 1675 210/365
Ouderdom = 40 352/365

Theorie 1: 11 augustus 1634 – 29 juli 1675.
Theorie 2: 11 augustus 1635 – 29 juli 1676.
Theorie 3: 12 augustus 1635 – 30 juli 1676.
Bij theorie 2 en 3 krijgen we te maken met het schrikkeljaar 1676. De noemer van jaren Christi zou dan eigenlijk 366 moeten zijn in plaats van 365. De 210e dag van een gewoon jaar is 29 juli. Bij de uitkomst van 29 of 30 juli 1676 voor de sterfdatum, ga ik ervan uit dat de schrikkeldag 29 februari 1676 niet wordt meegeteld.

Jelte Eises Eisinga van Dronrijp
Jaren Christi = 1784 297/365
Ouderdom = 69 272/365

Theorie 1: 25 januari 1715 – 24 oktober 1784
Theorie 2: 25 januari 1716 – 24 oktober 1785
Theorie 3: 26 januari 1716 – 25 oktober 1785
Bij theorie 1 krijgen we te maken met het schrikkeljaar 1784. De noemer van jaren Christi zou dan eigenlijk 366 moeten zijn in plaats van 365. De 297e dag van een gewoon jaar is 24 oktober. Bij de uitkomst van 24 oktober 1784 voor de sterfdatum, ga ik ervan uit dat de schrikkeldag 29 februari 1784 niet wordt meegeteld.

Wat anderen schrijven

Eeltje Buwes van Hallum

In 1779 schrijft H. Rakers over de jaren Christi van de uitkomst (1640 340/365): “Derhalve is hy gebooren in ’t Jaar 1620 den 15 May voor den middag; en gestorven den 6 December in ’t Jaar 1641, ’s nachts ten 12 uuren.”9 Rakers gebruikt dus theorie 2.

In 1791 schrijft Sijmen Pijters de Vries van de uitkomst 1640: “dat is sestien hondert in het een en veertigste jaar na Christi geboorte als of men zegt 1641”.10 Hij volgt dus ook theorie 2.

Klaas Lieuwes Fopma van Jorwerd

Eise Eisinga neemt in het rekenboek uit zijn jeugd voor de uitkomst (1675 210/365) een sterfdatum van 29 juli 1675.11 Eisinga gebruikt dus theorie 1.

Ook in 1793 volgen de meeste inzenders van het tijdschrift Wiskundige verlustiging theorie 1. De inzender J. Pauw volgt echter theorie 2 en de redactie sluit zich bij hem aan. Pauw schrijft: “Indien men den Breuk, die over is, in het Jaar zelf (naamelyk 1675) laat vallen, zo komt de Sterfdag op den 29 Juli 1675: doch zulks dunkt my niet waarschynlyk te zyn; om dat, het Jaar reeds vol zynde, de Breuk in hetzelfde niet vallen kan, maar noodzaakelyk tot het volgende Jaar gebragt moet worden; en zo is dan het waare Antwoord overleeden op den 28 July 1676, om dat dit Jaar een Schrikkeljaar is, waar in February 29 dagen heeft.” Er moet wel opgemerkt worden dat Pauw 366 dagen in het schrikkeljaar telt, alhoewel de noemer van de breuk 365 is.

Jelte Eises Eisinga van Dronrijp

In het Planetariumboek uit 1928 gaan Havinga en Lonneman uitgebreid in op de puzzel. Lonneman rekent de puzzel keurig uit en Havinga geeft nog een uitgebreide beschouwing. Lonneman en Havinga gebruiken theorie 1. Havinga noemt ook drie andere personen die de puzzel hebben opgelost, deze gebruikten ook theorie 1. Havinga maakt wel melding van het probleem dat 1784 een schrikkeljaar is, maar neemt aan dat Eisinga voor elk jaar 365 dagen neemt.

Havinga en Lonneman gebruiken in het Planetariumboek theorie 1 voor de uitkomst 1784 297/365: “Derhalve is Jelte Eises Eisinga overleden op den 297sten dag van het jaar 1784, d.i. den 24sten October. Hij heeft geleefd 69 jaren en 272 dagen, zoodat hij is geboren op den 25sten Januari 1715.” Havinga geeft in het Planetariumboek ook de oplossing van drie anderen weer. Zij volgen steeds theorie 1, maar twee van hen worstelen met het schrikkeljaar 1784.12

Genealogische bronnen

Aangezien de interpretatie van de uitkomst van de puzzel zoveel onduidelijkheid oplevert, kunnen we ook eens proberen of de genealogische bronnen, zoals doopboeken ons meer duidelijkheid kunnen verschaffen.

Eeltje Buwes van Hallum

In het doopboek van de Hervormde gemeente Hallum van 1617-1655 vinden we dat op 26 september 1619 het zoontje van Buwe Harings, genaamd Eelcke, gedoopt is13. Dat betekent dat alleen de eenvoudige theorie 1 met een geboortedatum van 15 mei 1619 kan kloppen. Theorie 2 en 3 met een geboortedatum in 1620 vallen af. Een overlijdensdatum van Eeltje Buwes kon ik niet vinden.

Klaas Lieuwes Fopma van Jorwerd

Over de vader van Klaas Lieuwes Fopma schrijft Hartman Sannes: “In 1639 was mr. Lieuwe Clasen Fopma hier [in Jorwerd] schooldienaar en dorprechter. Op 6 mei 1642 was hij hier ook als zodanig, met zijn vrouw Sas Reiners. Zij is voor 1681 overleden. In februari 1654 was hij nog steeds "schooldr. en cleenreeder tot Jorwerd". Hij berekende de Jorwerder almanakken voor 1652 en 1655. Ook in april 1667 en 1668 werd hij genoemd als schoolmeester te Jorwerd. Hij kwam hier nog voor in 1681, 1688 en 1692, maar is kort daarna overleden.”14 De vader schreef de Jorwerder Almanach over ’t Schrickel-Jaer onses Heylandts M. DC. LII, Leeuwarden: Claude Fonteyne 165215.

Over Klaas Lieuwes Fopma zelf schrijft allefriezen.nl: “Claes Lieuwes Fopma; schoolmeester ontvanger van Oostermeer, kennelijk als schoolmeester ontslagen 1670, overl. O'meer 29 juli 1675, begr. Jorwerd; tr. (att. v Jorwerd naar Dronrijp 21 feb. 1655) Ytje Lieuwes (bdn v Jorw.); op lidm. lijst O'meer 1667 (bij de Wal); zij idem 1674 (vrouw van "Claes collecteur"); It Beaken 1982 120; acta Classis Lw. aug. 1670, Kl.F. ernstig bestraft wegens ergerlijke dronkenschap en anderszins, voor drie maanden als schoolmeester geschorst; opvolger Klaas Koenes / Claes Coenes komt nog in 1670”16 Het is onduidelijk waar de vermelde geboorte- en sterfdatum vandaan komen, maar ze stemmen overeen met de eenvoudige theorie 1.

De vader overleefde zijn zoon. Het ligt erg voor de hand dat de vader het opschrift op de grafsteen opgesteld heeft.

Jelte Eises Eisinga van Dronrijp

In het Trouwregister van de Hervormde gemeente Oosterlittens van 1692-1810 vinden we dat de ouders van Jelte Eises, Eise Jeltes en Trijntie Aanes, op 24 maart 1715 in Oosterlittens zijn getrouwd17. Volgens theorie 1 ligt de geboortedatum van Jelte Eises op 25 januari 1715. Theorie 1 geeft dus een geboortedatum van het kind die twee maanden voor het huwelijk van zijn ouders ligt. Theorie 1 lijkt dus onwaarschijnlijk. De theorieën 2 en 3 met een geboortedatum van 25 respectievelijk 26 januari 1716 geven een plausibeler resultaat; in deze theorieën wordt het kind tien maanden na het huwelijk van zijn ouders geboren.

In het doopboek van de Hervormde gemeente Oosterlittens van 1683-1812 vinden we 2 januari 1716 als doopdatum van Jelte Eises.18 Bij theorie 1 zou de doop bijna een jaar op zich hebben laten wachten. De theorieën 2 en 3 met hun geboortedatum van 25 of 26 januari 1716 zijn in strijd met de vermelding van het doopboek; een kind wordt niet gedoopt in de buik van zijn moeder. Volgens de amateur-wiskundige en -historicus Albert Breeuwsma zou de doopdatum van 2 januari 1716 niet kloppen, omdat deze dag een donderdag was19. Op de bladzijde met de vermelding van de doop van Jelte Eises en de voorgaande bladzijde vind ik 17 dopelingen. Van deze 17 dopelingen zijn twaalf (71%) op zondag gedoopt en vijf op een andere dag. De voorgaande doop was zondag 15 december 1715, de nakomende doop donderdag 21 februari 1716. Als de schrijver zich in de maand heeft vergist, komen we op zondag 2 februari 1716. Deze doopdatum past uitstekend bij de theorieën 2 en 3. Maar is het wel gerechtvaardigd om aan te nemen dat de schrijver zich vergist heeft?

Omtrent het overlijden van Jelte Eises is alleen een aantekening te vinden in het rekeningboek van de armvoogdij 1747-1801 van de Hervormde gemeente Dronrijp. Op 6 december 1785 heeft de armvoogdij geld ontvangen voor het “doodvat” (doodskist) van Jelte Eises20. Bij theorie 1 zou de betaling meer dan een jaar op zich hebben laten wachten. Bij de theorieën 2 en 3 zou de betaling van de doodskist geschiedt zijn anderhalve maand na het overlijden.

De Leeuwarder stadsarchivaris Wopke Eekhoff schrijft in 1851 dat Jelte Eises op 24 oktober 1785 op ruim 69-jarige leeftijd overleed21. Deze sterfdatum komt overeen met theorie 2. Hoe kwam Eekhoff nu aan de sterfdatum 24 oktober 1785 en aan een leeftijd van ruim 69 jaar? Zou hij de puzzel op de grafsteen hebben opgelost en hebben gekozen voor theorie 2? Erg waarschijnlijk is dat niet. In zijn publicatie is namelijk de puzzel onjuist overgenomen22, waardoor deze niet is op te lossen. Bovendien geeft Eekhoff geen enkele wiskundige beschouwing. Of zou Eekhoff met de sterfdatum net zo onzorgvuldig zijn geweest als met het overnemen van de puzzel? Het lijkt er meer op dat Eekhoff sterfdatum en leeftijd via historisch onderzoek te weten is gekomen.

Het huis van Jelte Eises en zijn vrouw staat tot 1785 op zijn naam, daarna tot 1792 op de naam van zijn weduwe en sinds 1795 op naam van hun zoon Stephanus23. Dit gegeven pleit voor theorie 2 of 3; theorie 1 lijkt minder waarschijnlijk.

Conclusie

Voor het grafschrift van Eeltje Buwes van Hallum kan worden aangenomen dat bij het opstellen de eenvoudige theorie 1 is gebruikt. De theorieŽn 2 en 3 vallen af, omdat deze theorieŽn leiden tot een geboortedatum na de doopdatum. Eeltje Buwes is dan geboren op 15 mei 1619 en gestorven op 6 december 1640. Er moet wel aangenomen worden dat schrikkeldag 29 februari 1640 bij de berekening niet wordt meegenomen.

Voor het grafschrift van Klaas Lieuwes Fopma van Jorwerd kunnen we aannemen dat bij het opstellen de eenvoudige theorie 1 gebruikt is. Klaas Lieuwes Fopma is dan geboren op 11 augustus 1634 en gestorven op 29 juli 1675.

Voor het grafschrift van Jelte Eises kan worden aangenomen dat bij het opstellen theorie 2 is gebruikt. Jelte Eises is dan geboren op 25 januari 1716 en gestorven op 24 oktober 1785. Deze theorie is in strijd met de doopdatum in het kerkboek van Oosterlittens, maar deze is waarschijnlijk foutief geregistreerd. Alhoewel theorie 3 beter is dan theorie 2, vindt theorie 3 geen enkele steun in de literatuur. Mogelijk is Eise Eisinga er later zelf ook achter gekomen dat theorie 2 niet helemaal correct is en heeft hij verder geen ruchtbaarheid gegeven aan de theorie die achter het grafschrift zit. En zo blijft het mysterie in stand …

Literatuur

Genootschap der mathematische weetenschappen, onder de spreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven, Kunst-oeffeningen over verscheidene nuttige onderwerpen der wiskunde, eerste deel, eerste stukje, Amsterdam: Houttuyn 1779, p. 12, 66-67.

Genootschap der mathematische weetenschappen, onder de spreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven, Wiskunstige verlustiging, in eene aaneenschakeling van uitgeleezene voorstellen, met derzelver ontbindingen, eerste deel, Amsterdam: Geysbeek 1793, p. 32, 227-229.

W. Eekhoff, Het leven van Eise Eisinga en beknopte geschiedenis van het planetarium, Schoonhoven: Van Nooten 1851.
(Staat ook afgedrukt in: J.H. van Swinden, Beschrijving van het rijks-planetarium te Franeker, Schoonhoven: Van Nooten 1851.)

Cannegieter, ‘Geschiedkundige herinneringen van Hallum’, deel 2, in: Friesche Volks-almanak voor het jaar 1852, Sneek: Van Druten & Bleeker 1851, Mengelwerk p. 3-42.

De Beoefenaar der Wiskunde, Schoonhoven: Van Nooten 1868, p. 105.

E. Havinga, W.E. van Wijk & J.F.M.G. d’Aumerie (red.), Planetarium-boek Eise Eisinga, Arnhem: Van Loghum Slaterus 1928.



1E. Havinga, ʻLeven en Werken van Eise Eisinga en Lolke Sideriusʼ, deel II, Leeuwarder Courant, 6 juni 1923, p. 5/6.
Een foto van de grafsteen omstreeks 1955 is te vinden in: Maria del Grosso, ‘Restauratie verpestte graf Eisinga’, Leeuwarder Courant, 2 november 2018, p. 3.

2Genootschap der mathematische weetenschappen, Kunst-oeffeningen over verscheidene nuttige onderwerpen der wiskunde, Amsterdam: Erven van F. Houttuyn 1779. Voorstel van G. van Steyn uit Zwolle, Voorstellen van het eerste deel, p. 12. Ontbinding der voorstellen door H. Rakers, p. 60. Volgens Van Steyn luidde het grafschrift: Eelke Buwes legt hier begraven. Zyn ouderdom toen hy stierf, geaddeerd tot de helft der jaaren na Christi geboorte, geeft in som 8422/73; maar als men zyn ouderdom met ¼ der jaaren na Christi geboorte vermenigvuldigt, zo is het product 88451573/5329.

3Cannegieter, ‘Geschiedkundige herinneringen van Hallum’, deel 2, in: Friesche Volks-almanak voor het jaar 1852, Sneek: Van Druten & Bleeker 1851, p. 12. Cannegieter geeft voor de som onjuist 842⅔ in plaats van 8422/73.

4G.A. Wumkes, Stads- en dorpskroniek van Friesland II (1800-1900), Leeuwarden: Drukkerij Eisma 1934, p. 20. Volgens Wumkes heette de persoon “Eeltje Luwes” en stond er op de steen “gemultipliceert” in plaats van “gemullipliceert”.

5Cannegieter.

6Planetarium-boek, p. 21. Havinga citeert het handgeschreven rekenboek dat de jonge Eise Eisinga in 1759 en 1760 heeft geschreven. Volgens Eisinga gaat het om een grafschrift uit Jorwerd.

7Een scan van de puzzel in het rekenboek is te vinden op de website van Tresoar: http://images.tresoar.nl/archief-collectie/tPlanetarium/tPlanetarium_iEE_04b/groot/EE_04b_086.jpg (geraadpleegd 3 november 2018).

8Genootschap der mathematische weetenschappen, Wiskunstige verlustiging, Amsterdam 1793, Voorstel 77 door Jan Ruyter, p. 32. Volgens Ruyter luidde het grafschrift: Klaas Lieuwes Fopma ligt hier begraaven. Zyne Ouderdom, toen hy stierf, by de helft der Jaaren Christi geaddeerd, komt 878549/730, en het één-vierde van zyne Jaaren met de Jaaren Christi gemultipliceerd, komt 1715919391/26645. Volgens Ruyter komt het grafschrift niet uit Jorwerd, maar uit Joure (“Jouwer”).

9Kunst-oeffeningen over verscheidene nuttige onderwerpen der Wiskunde, p. 67.

10Jarich Renema, ʻEisingaʼs grafsteenʼ, Leeuwarder Courant 6 december 2011, p. 6.

11Planetarium-boek, p. 21.

12Planetarium-boek, p. 84-86.

13Bron: Allefriezen.nl, geraadpleegd 30 april 2017. Inschrijving doop op 26 september 1619 te Hallum, dopeling Eelcke, vader Buwe Harings. Bronvermelding: Doopboek Herv. gem. Hallum, archiefnummer 28, Collectie doop-, trouw-, lidmaten- en begraafboeken - Tresoar, inventarisnummer 233, aktenummer 47.
Zie voor scan: https://familysearch.org/image/download?uri=https%3A%2F%2Ffamilysearch.org%2Fark%3A%2F61903%2F3%3A1%3A3QSQ-G9WK-Z7KH, geraadpleegd 30 april 2017 (onbereikbaar op 3 november 2018): Zeer moeilijk leesbaar: Des 26e septembris is soontiie van Buwe Harings, sijnde genaamt Eelcke.

14Hartman Sannes, Schoolmeesters in Friesland, deel Baarderadeel. Geraadpleegd via https://www.fryske-akademy.nl/nl/kennis-en-samenleving/publicaties/schoolmeesters-in-friesland-1600-1950/ op 3 november 2018.

15Tresoar, signatuur A 3339. Zie voor een afbeelding uit de almanak: https://www.tresoar.nl/ontdek/Hij-liegt-als-een-almanak/Pages/HomePage.aspx, geraadpleegd 3 november 2018.

16Bron: https://www.allefriezen.nl/zoeken/persons?ss=%7B%22q%22:%22Idtie%20Lieuwes%20%26%20Claes%20Lieuwes%20Fopma%22%7D, geraadpleegd 3 november 2018. Bronvermelding: archiefnummer 1730, Bevolking Tietjerksteradeel, verzameling Nieuwland - Tresoar, inventarisnummer 1, aktenummer 585.

17Bron: Allefriezen.nl, geraadpleegd 30 april 2017. Bevestiging huwelijk Eise Jeltes wonende te Oosterlittens met Trijntie Aanes wonende te Oosterlittens op 24 maart 1715 te Oosterlittens. Bronvermelding: Trouwregister Hervormde gemeente Oosterlittens, archiefnummer 28, Collectie doop-, trouw-, lidmaten- en begraafboeken - Tresoar, inventarisnummer 82, aktenummer 96.
Zie voor scan: https://familysearch.org/image/download?uri=https%3A%2F%2Ffamilysearch.org%2Fark%3A%2F61903%2F3%3A1%3A3QS7-89WK-FHLS, geraadpleegd 30 april 2017 (onbereikbaar op 3 november 2018): 1715 Den 24 maart sijn van drijemaal proclamatie, alhier in den huwelijcken staat bevestight Eise Jeltis en Trijnde Aanis. (Trijnde is later veranderd in Trijntie.)

18Planetariumboek 1928, p. 13: “1716 Den 2 janu heeft Eize Jeltis sijn kint laaten dopen sijnde een soon genaamt Jelte”.
Bron: Allefriezen.nl, geraadpleegd 30 april 2017. Inschrijving doop van dopeling Jelte, vader Eize Jelties op 2 januari 1716 te Oosterlittens. Bronvermelding: Doopboek Herv. gem. Oosterlittens, archiefnummer 28, Collectie doop-, trouw-, lidmaten- en begraafboeken - Tresoar, inventarisnummer 81, aktenummer 410.
Zie voor scan: https://familysearch.org/image/download?uri=https%3A%2F%2Ffamilysearch.org%2Fark%3A%2F61903%2F3%3A1%3A3QSQ-G9WK-FSDM, geraadpleegd 30 april 2017 (onbereikbaar 3 november 2018): “1716 Den 2 janu heeft Eize Jeltis sijn kint laaten dopen sijnde een soon genaamt Jelte.”

19Maria del Grosso, ‘Restauratie verpestte graf Eisinga’, Leeuwarder Courant, 2 november 2018, p. 3.

20Bron: Allefriezen.nl, geraadpleegd 30 april 2017. Inschrijving begraven op 6 december 1785. Ontvangen wegens kistgeld £ 15:-:-. Ontv(angen) voor 't doodvat van Jelte Eises zijnde insgel(ijks) een ½ duims. Bronvermelding: Rekeningboek armvoogdij Dronrijp, archiefnummer 244-19, Hervormde gemeente Dronrijp - Tresoar, inventarisnummer 0085, aktenummer 40.

21Wopke Eekhoff, ʻHet Leven van Eise Eisinga en beknopte geschiedenis van zijn planetariumʼ in: J.H. Van Swinden, Beschrijving van het rijks-planetarium te Franeker, vervaardigd van 1778 tot 1870 uitgedacht en vervaardigd door Eise Eisinga, Schoonhoven: S.E. van Nooten 1851, p. 10.

22Eekhoff geeft in de breuk van de vermenigvuldiging 332.900 in plaats van 532.900.

23Planetariumboek 1928, p. 14.